DL 1.1★★★
Fonctions indicatrices, images directes et images réciproques
Traduire les opérations ensemblistes en calculs sur des fonctions, et caractériser l'injectivité et la surjectivité par les images directes et réciproques.
Devoirs libres — MPSI
Trois devoirs par chapitre, de difficulté croissante : ★★★ maîtrise du cours, ★★★ niveau concours standard, ★★★ parties les plus sélectives. Chaque devoir est prévu pour environ 6 heures.
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1. Logique et ensembles2. Nombres complexes3. Calcul algébrique4. Nombres réels5. Suites numériques6. Fonctions d'une variable réelle7. Primitives et équations différentielles8. Arithmétique des entiers9. Structures algébriques10. Calcul matriciel et systèmes11. Polynômes et fractions rationnelles12. Dénombrement13. Probabilités14. Développements limités et asymptotique15. Algèbre linéaire16. Groupe symétrique et déterminants17. Espaces préhilbertiens18. Intégration19. Intégrales généralisées20. Séries numériques21. Fonctions de deux variables
Aucun devoir ne correspond à la recherche.
1Logique et ensembles
DL 1.2★★★
Points fixes, fermetures et correspondances de Galois
Démontrer le théorème du point fixe de Knaster et Tarski et l'appliquer aux opérateurs de fermeture, aux correspondances de Galois et aux définitions inductives.
DL 1.3★★★
Chaînes et antichaînes : les théorèmes de Mirsky et de Dilworth
Démontrer les deux théorèmes duaux de décomposition d'un ensemble ordonné fini, puis les appliquer à la divisibilité et aux suites de nombres.
2Nombres complexes
DL 2.1★★★
Sommes trigonométriques, racines de l'unité et calcul de $\sum\frac1{k^2}$
Maîtriser les calculs de sommes trigonométriques, puis calculer $\sum_{k=1}^{n-1}\cotan^2\frac{k\pi}n$ et en déduire, par encadrement, la valeur de $\lim_n\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}$.
Énoncé PDF · 122 KoCorrigé le 20 novembre 2026
DL 2.2★★★
Géométrie du triangle : cercle d'Euler et droite de Simson
Étudier le triangle inscrit dans le cercle unité par le calcul complexe : orthocentre, droite d'Euler, cercle des neuf points, droite de Simson.
Énoncé PDF · 110 KoCorrigé à venir
DL 2.3★★★
Homographies, birapport et automorphismes du disque unité
Étudier les homographies du plan complexe, leur action sur les cercles et les droites, le birapport, puis les homographies qui préservent le disque unité et une « distance » qu'elles conservent.
Énoncé PDF · 131 KoCorrigé à venir
3Calcul algébrique
DL 3.1★★★
Sommes doubles et nombres harmoniques
Manipuler avec aisance les sommes simples et doubles, à travers l'étude des nombres harmoniques $H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k$.
Énoncé PDF · 112 KoCorrigé à venir
DL 3.2★★★
La suite de Fibonacci : identités et coefficients binomiaux
Démontrer les principales identités de Fibonacci par trois méthodes complémentaires : récurrence, formule de Binet et coefficients binomiaux.
Énoncé PDF · 118 KoCorrigé à venir
DL 3.3★★★
Inégalités classiques et inégalité de Carleman
Démontrer les grandes inégalités discrètes (moyennes, Cauchy–Schwarz, réarrangement, Tchebychev) par des méthodes purement algébriques, puis l'inégalité de Carleman, avec sa constante optimale $\e$.
Énoncé PDF · 119 KoCorrigé à venir
4Nombres réels
DL 4.1★★★
Partie entière : identités, sommes et dénombrements
Acquérir les techniques de calcul avec la partie entière et les appliquer à des sommes et à des comptages de points à coordonnées entières.
Énoncé PDF · 112 KoCorrigé à venir
DL 4.2★★★
Approximation rationnelle : lemme de Dirichlet et nombres de Liouville
Mesurer « à quel point » un réel est approchable par des rationnels, en déduire un critère d'irrationalité et construire un réel très bien approchable.
Énoncé PDF · 123 KoCorrigé à venir
DL 4.3★★★
Fractions continues
Développer un réel en fraction continue, établir les propriétés des réduites et leur optimalité, et les appliquer à $\sqrt2$, au nombre d'or, à $\pi$ et à l'équation de Pell–Fermat.
Énoncé PDF · 122 KoCorrigé à venir
5Suites numériques
DL 5.1★★★
Suites récurrentes : quatre études complètes
Mener de bout en bout l'étude d'une suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ : stabilité d'un intervalle, monotonie, limite, vitesse de convergence.
Énoncé PDF · 107 KoCorrigé à venir
DL 5.2★★★
Calculer vite : Héron, Newton et l'algorithme d'Archimède pour $\pi$
Comparer des algorithmes de calcul de $\sqrt a$, de $\frac1a$ et de $\pi$ selon leur vitesse de convergence (linéaire, quadratique, cubique), et prouver ces vitesses.
Énoncé PDF · 110 KoCorrigé à venir
DL 5.3★★★
Les théorèmes de Toeplitz et de Stolz–Cesàro ; vitesse des suites récurrentes lentes
Établir un théorème général de moyennes, en déduire le théorème de Stolz–Cesàro, et l'utiliser pour obtenir le comportement précis de suites récurrentes qui convergent lentement.
Énoncé PDF · 117 KoCorrigé à venir
6Fonctions d'une variable réelle
DL 6.1★★★
Valeurs intermédiaires, théorème de Rolle et propriété de Darboux
Exploiter les grands théorèmes de l'analyse réelle (valeurs intermédiaires, bornes, Rolle) sur des situations variées, jusqu'au théorème de Darboux.
Énoncé PDF · 112 KoCorrigé à venir
DL 6.2★★★
Équations fonctionnelles : Jensen, d'Alembert, Cauchy multiplicative
Déterminer toutes les fonctions continues vérifiant une équation fonctionnelle, par la méthode « valeurs sur une partie dense puis continuité ».
Énoncé PDF · 117 KoCorrigé à venir
DL 6.3★★★
Convexité : Young, Hölder, Minkowski, log-convexité et inégalité de Karamata
Déduire de la convexité les grandes inégalités de l'analyse, étudier les fonctions log-convexes, et démontrer l'inégalité de majoration de Karamata.
Énoncé PDF · 126 KoCorrigé à venir
7Primitives et équations différentielles
DL 7.1★★★
Équations du premier ordre : raccordements, Bernoulli et Riccati
Résoudre des équations linéaires du premier ordre, y compris aux points où le coefficient de $y'$ s'annule, puis ramener des équations non linéaires classiques à des équations linéaires.
Énoncé PDF · 117 KoCorrigé à venir
DL 7.2★★★
Oscillateurs : régimes libres, résonance et battements
Étudier complètement l'oscillateur harmonique amorti et forcé, modèle commun de la mécanique et de l'électricité, et quantifier le phénomène de résonance.
Énoncé PDF · 113 KoCorrigé à venir
DL 7.3★★★
La théorie de Sturm : zéros des solutions de $y''+q(x)y=0$
Étudier qualitativement les solutions d'une équation linéaire du second ordre à coefficient variable, sans les calculer : séparation des zéros, comparaison, estimation des écarts entre zéros.
Énoncé PDF · 122 KoCorrigé à venir
8Arithmétique des entiers
DL 8.1★★★
Équations diophantiennes et descente infinie
Résoudre en entiers des équations classiques (linéaires, quadratiques, de Fermat pour l'exposant $4$) en combinant factorisation, congruences et descente infinie.
Énoncé PDF · 109 KoCorrigé à venir
DL 8.2★★★
Fonctions arithmétiques, inversion de Möbius et nombres parfaits
Étudier les fonctions arithmétiques multiplicatives ($\varphi$, $\mu$, $d$, $\sigma$) et la convolution de Dirichlet, et caractériser les nombres parfaits pairs.
Énoncé PDF · 116 KoCorrigé à venir
DL 8.3★★★
Formule de Legendre, estimations de Tchebychev et postulat de Bertrand
Étudier la répartition des nombres premiers par des méthodes élémentaires : encadrer $\pi(x)$ entre deux multiples de $\frac x{\ln x}$, et démontrer qu'entre $n$ et $2n$ il y a toujours un nombre premier.
Énoncé PDF · 123 KoCorrigé à venir
9Structures algébriques
DL 9.1★★★
Groupes de transformations : le groupe affine, les similitudes et les isométries du triangle
Manipuler le vocabulaire des groupes sur des groupes de transformations concrets, et reconnaître des isomorphismes.
Énoncé PDF · 108 KoCorrigé à venir
DL 9.2★★★
Anneaux : Boole, fonctions et matrices $2\times2$
Explorer, dans trois familles d'anneaux, les éléments remarquables (inversibles, idempotents, nilpotents, diviseurs de zéro), et construire $\C$ et $\Q(\sqrt2)$ comme anneaux de matrices.
Énoncé PDF · 108 KoCorrigé à venir
DL 9.3★★★
Corps quadratiques et morphismes de corps
Étudier les sous-corps $\Q(\sqrt d)$, leurs isomorphismes et leurs automorphismes, puis démontrer que l'identité est le seul morphisme d'anneaux de $\R$ dans $\R$.
Énoncé PDF · 114 KoCorrigé à venir
10Calcul matriciel et systèmes
DL 10.1★★★
Puissances de matrices et suites récurrentes couplées
Calculer les puissances d'une matrice par plusieurs méthodes (binôme, polynôme annulateur, changement de base) et les appliquer à des suites couplées.
Énoncé PDF · 111 KoCorrigé à venir
DL 10.2★★★
Méthodes itératives de Jacobi et de Gauss–Seidel
Étudier deux méthodes itératives de résolution de $Ax=b$, établir un critère de convergence (diagonale strictement dominante) et estimer la vitesse de convergence.
Énoncé PDF · 117 KoCorrigé à venir
DL 10.3★★★
Matrices de rang $1$, formules de Sherman–Morrison et de Woodbury
Étudier les matrices de rang $1$ et les « mises à jour de faible rang » d'une matrice inversible, outil central du calcul scientifique (moindres carrés récursifs, modification d'un coefficient).
Énoncé PDF · 113 KoCorrigé à venir
11Polynômes et fractions rationnelles
DL 11.1★★★
Les polynômes de Tchebychev
Construire les polynômes de Tchebychev à partir de la formule $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$ et établir leurs propriétés algébriques et analytiques.
Énoncé PDF · 116 KoCorrigé à venir
DL 11.2★★★
Polynômes de Bernoulli et sommes de puissances
Construire les polynômes de Bernoulli, en établir les propriétés de symétrie, et en déduire les formules des sommes $\sum_{k=0}^{m-1}k^p$.
Énoncé PDF · 101 KoCorrigé à venir
DL 11.3★★★
Polynômes cyclotomiques
Étudier les polynômes cyclotomiques $\Phi_n$, montrer qu'ils sont à coefficients entiers, établir l'irréductibilité de $\Phi_p$, et démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à $1$ modulo $n$.
Énoncé PDF · 123 KoCorrigé à venir
12Dénombrement
DL 12.1★★★
Chemins dans un quadrillage et identités binomiales
Démontrer des identités binomiales par des arguments combinatoires (double comptage, bijections), à l'aide des chemins dans un quadrillage.
Énoncé PDF · 128 KoCorrigé à venir
DL 12.2★★★
Nombres de Stirling, surjections et nombres de Bell
Dénombrer les partitions d'un ensemble fini et les surjections, et relier ces nombres aux polynômes et à la série exponentielle.
Énoncé PDF · 115 KoCorrigé à venir
DL 12.3★★★
Partitions d'entiers : Euler, Glaisher et Franklin
Étudier les partitions d'un entier par des bijections : conjugaison des diagrammes de Ferrers, théorème d'Euler (parts impaires et parts distinctes), et théorème pentagonal d'Euler par l'involution de Franklin.
Énoncé PDF · 124 KoCorrigé à venir
13Probabilités
DL 13.1★★★
Conditionnement et problème des rencontres
Maîtriser la formule de Bayes, puis étudier la loi du nombre de points fixes d'une permutation aléatoire et son approximation par une loi de Poisson.
Énoncé PDF · 114 KoCorrigé à venir
DL 13.2★★★
Marche aléatoire simple sur $\Z$ : réflexion et retours à l'origine
Étudier la marche aléatoire simple : probabilité de retour en $0$, principe de réflexion, loi du premier retour, et caractère récurrent ou transient selon la valeur de $p$.
Énoncé PDF · 111 KoCorrigé à venir
DL 13.3★★★
Concentration et théorème d'approximation de Weierstrass
Comparer les inégalités de concentration pour les sommes de variables de Bernoulli (Bienaymé–Tchebychev, Hoeffding), et démontrer le théorème de Weierstrass pour les fonctions lipschitziennes à l'aide des polynômes de Bernstein.
Énoncé PDF · 125 KoCorrigé à venir
14Développements limités et asymptotique
DL 14.1★★★
Développements limités : calculs et étude locale
Acquérir la technique des développements limités et les appliquer aux limites, aux tangentes et aux asymptotes.
Énoncé PDF · 102 KoCorrigé à venir
DL 14.2★★★
Développements asymptotiques de sommes
Obtenir des développements asymptotiques précis de sommes classiques ($H_n$, $\sum\frac1{k^2}$, $\sum\ln k$, $\sum\frac1{\sqrt k}$) par la méthode du « télescopage corrigé ».
Énoncé PDF · 113 KoCorrigé à venir
DL 14.3★★★
Ordre de convergence des méthodes itératives et accélération
Mesurer la vitesse de convergence des méthodes itératives (point fixe, Newton, sécante) grâce aux développements limités, puis accélérer une convergence lente (procédé $\Delta^2$ d'Aitken, extrapolation de Richardson).
Énoncé PDF · 119 KoCorrigé à venir
15Algèbre linéaire
DL 15.1★★★
Interpolation de Lagrange, formes linéaires et formules de quadrature
Utiliser l'isomorphisme entre polynômes et valeurs en des points pour construire des formules d'intégration approchée exactes sur les polynômes de degré donné (rectangles, trapèzes, Simpson).
Énoncé PDF · 125 KoCorrigé à venir
DL 15.2★★★
Endomorphismes nilpotents
Établir les propriétés des endomorphismes nilpotents : indice, suite des rangs, bases cycliques, réduction à une matrice « de Jordan » et commutant.
Énoncé PDF · 99 KoCorrigé à venir
DL 15.3★★★
Opérateurs de dérivation et de différence sur $\K[X]$
Étudier la dérivation $D$, la translation $\tau$ et la différence $\Delta=\tau-\Id$ sur les polynômes, la base binomiale de Newton, et les relations « exponentielle » et « logarithme » qui les relient.
Énoncé PDF · 112 KoCorrigé à venir
16Groupe symétrique et déterminants
DL 16.1★★★
Déterminants de Vandermonde, circulants et applications
Calculer le déterminant de Vandermonde et ses variantes, puis l'appliquer à l'interpolation, aux matrices circulantes et à l'indépendance de familles de fonctions.
Énoncé PDF · 117 KoCorrigé à venir
DL 16.2★★★
Le groupe symétrique : générateurs, inversions et tri
Étudier diverses familles génératrices de $\Sg_n$, relier le nombre d'inversions d'une permutation au tri par transpositions adjacentes, et dénombrer les permutations selon leur nombre d'inversions ou de cycles.
Énoncé PDF · 119 KoCorrigé à venir
DL 16.3★★★
Le résultant de deux polynômes
Construire le résultant de deux polynômes, caractériser l'existence d'une racine commune par l'annulation d'un déterminant, et en déduire le discriminant et des méthodes d'élimination.
Énoncé PDF · 118 KoCorrigé à venir
17Espaces préhilbertiens
DL 17.1★★★
Le produit scalaire de Frobenius et la droite des moindres carrés
Manipuler le produit scalaire canonique de $\Mat_n(\R)$ et en tirer des inégalités matricielles, puis interpréter la régression linéaire comme une projection orthogonale.
Énoncé PDF · 115 KoCorrigé à venir
DL 17.2★★★
Polynômes orthogonaux : récurrence à trois termes, zéros et quadrature de Gauss
Construire les polynômes orthogonaux associés à un poids, établir leur relation de récurrence, la localisation de leurs zéros, et en déduire les formules de quadrature de Gauss.
Énoncé PDF · 118 KoCorrigé à venir
DL 17.3★★★
Polynômes trigonométriques : Bessel, Fejér, Parseval et inégalité isopérimétrique
Étudier l'approximation des fonctions périodiques par des polynômes trigonométriques, démontrer l'égalité de Parseval pour les fonctions lipschitziennes grâce au noyau de Fejér, et en déduire l'inégalité de Wirtinger et l'inégalité isopérimétrique.
Énoncé PDF · 123 KoCorrigé à venir
18Intégration
DL 18.1★★★
Sommes de Riemann et inégalités intégrales élémentaires
Calculer des limites de sommes et de produits à l'aide des sommes de Riemann, et établir des inégalités intégrales classiques.
Énoncé PDF · 105 KoCorrigé à venir
DL 18.2★★★
Convexité et intégrales : Hermite–Hadamard, Jensen, Hölder
Passer des inégalités de convexité discrètes à leurs versions intégrales, et les appliquer à des encadrements d'intégrales et de moyennes.
Énoncé PDF · 115 KoCorrigé à venir
DL 18.3★★★
Irrationalité de $\pi^2$ et de $\e^r$ (méthode de Niven)
Démontrer, par des méthodes d'intégration élémentaires, que $\pi^2$ est irrationnel (donc aussi $\pi$), et que $\e^r$ est irrationnel pour tout rationnel $r\ne0$.
Énoncé PDF · 113 KoCorrigé à venir
19Intégrales généralisées
DL 19.1★★★
Nature d'intégrales : Bertrand, $\frac{\sin t}{t^\alpha}$ et Fresnel
Déterminer la nature d'intégrales classiques, y compris semi-convergentes, et maîtriser les outils de comparaison.
Énoncé PDF · 115 KoCorrigé à venir
DL 19.2★★★
Intégrales de Frullani et calculs classiques
Établir le théorème de Frullani et calculer des intégrales classiques ($\int_0^{\pi/2}\ln\sin$, $\int_0^\infty\frac{\ln(1+t^2)}{1+t^2}$, …) par des manipulations élémentaires.
Énoncé PDF · 114 KoCorrigé à venir
DL 19.3★★★
La transformation de Laplace : théorèmes abéliens et injectivité
Étudier la transformée de Laplace d'une fonction continue, son comportement en $0$ et en $+\infty$ (théorèmes abéliens), et démontrer qu'elle caractérise la fonction.
Énoncé PDF · 117 KoCorrigé à venir
20Séries numériques
DL 20.1★★★
Séries alternées et termes oscillants
Maîtriser le critère des séries alternées et son contrôle du reste, étudier des séries « presque alternées » par développement asymptotique, et traiter des termes oscillants classiques de concours.
Énoncé PDF · 122 KoCorrigé à venir
DL 20.2★★★
Sommation des séries de fractions rationnelles
Caractériser la convergence des séries de fractions rationnelles, introduire la fonction $H(x)=\sum_{n\ge1}\bigl(\frac1n-\frac1{n+x}\bigr)$ qui prolonge la suite $(H_n)$ et l'utiliser pour calculer explicitement des sommes.
Énoncé PDF · 123 KoCorrigé à venir
DL 20.3★★★
Transformation d'Abel et séries trigonométriques $\sum\frac{\sin(nx)}n$
Démontrer le critère d'Abel–Dirichlet, étudier les séries $\sum\frac{\e^{\i n\theta}}{n^\alpha}$, puis calculer les sommes $\sum\frac{\sin(nx)}n$, $\sum\frac{\cos(nx)}n$, $\sum\frac{1-\cos(nx)}{n^2}$ grâce au lemme de Riemann–Lebesgue, avec comme applications $\zeta(2)$ et l'identité $\sum\frac{\sin n}n=\sum\frac{\sin^2n}{n^2}=\frac{\pi-1}2$.
Énoncé PDF · 128 KoCorrigé à venir
21Fonctions de deux variables
DL 21.1★★★
Équations aux dérivées partielles du premier ordre
Vérifier la classe $\mathcal C^1$ d'une fonction définie par morceaux, puis résoudre des équations aux dérivées partielles du premier ordre par un changement de variables adapté ; reconnaître les champs de vecteurs qui sont des gradients.
Énoncé PDF · 124 KoCorrigé à venir
DL 21.2★★★
Roulettes : cycloïde, épicycloïdes et hypocycloïdes
Étudier les courbes engendrées par un point d'un cercle qui roule sans glisser sur une droite ou un cercle, analyser leurs points de rebroussement et établir quelques propriétés géométriques remarquables (normale passant par le point de contact, cordes de longueur constante de la cardioïde, tangentes de la deltoïde).
Énoncé PDF · 129 KoCorrigé à venir
DL 21.3★★★
Fonctions convexes de deux variables et méthode du gradient
Caractériser les fonctions convexes de classe $\mathcal C^1$ sur $\R^2$ par leur gradient, puis démontrer la convergence géométrique de la méthode du gradient à pas fixe pour les fonctions fortement convexes à gradient lipschitzien, et étudier le pas optimal dans le cas quadratique.
Énoncé PDF · 152 KoCorrigé à venir